Soal OSK Fisika SMA 2016 No 1

1- (8 poin) Tinjau fenomena osilasi bebas yang dialami suatu tetes cairan yang berhasil direkam oleh beberapa astronot pada saat mereka sedang mengorbit di ruang angkasa bebas gravitasi. Fenomena ini mereka temukan pada saat mereka sedang berusaha menangkap satu tetes air yang besar dan kemudian merekamnya dalam bentuk video. Para astronot berhasil mengamati dengan jelas kalau ukuran/jari-jari tetes air tersebut benar-benar berosilasi (lihat gambar).
Fenomena ini belum diketahui banyak orang karena mereka bermukim di permukaan Bumi yang gravitasinya mengakibatkan tetes cairan mengalami jatuh bebas lebih cepat sehingga tidak sempat mengalami osilasi. Fenomena populer ini pertama kali diselesaikan oleh Lord Rayleigh yang hasilnya telah dipublikasi dalam majalah ilmiah Nature volume 95, halaman 66, tahun 1915.

(a) (4 poin) Dengan mengabaikan pengaruh percepatan gravitasi bumi, tentukan besar frekuensi osilasi tetes di atas yang dianggap bergantung pada massa jenis cairan ($\rho$), jari-jari tetes cairan ($r$), dan tegangan muka cairan ($\sigma$).

(b) (2 poin) Untuk ukuran tetes cairan yang sama, hitunglah nilai perbandingan (rasio) antara frekuensi osilasi tetes cairan A dengan frekuensi osilasi tetes cairan B dengan menggunakan hasil (a) di atas, dan

(c) (2 poin) Jelaskan kesimpulan Anda tentang pengaruh massa jenis cairan terhadap frekuensi osilasinya.

Diketahui:

$\rho$ massa jenis: 1 g/cm3 (cairan A) dan 12,1 g/cm3 (cairan B)
$\sigma$ tegangan muka: 0,0405 N/m (cairan A) dan 0,5 N/m (cairan B)

Pembahasan

 (a) Dari data pada soal di atas dapat disimpulkan bahwa persamaan frekuensi osilasinya berbentuk ($k$ adalah tetapan tak berdimensi) :
\[f=k\rho^\alpha r^\beta \sigma^\gamma\]
dan dengan menggunakan kesetaraan dimensi kita dapatkan persamaan dimensinya adalah
\begin{align}
 [f]&=[k][\rho]^\alpha [r]^\beta [\sigma]^\gamma \\
T^{-1}&=(M L^{-3})^\alpha (L)^\beta (M T^{-2})^\gamma \\
 T^{-1}&=M^{(\alpha + \gamma)} L^{(-3\alpha + \beta)} T^{-2\gamma}
\end{align}
Lalu dengan menyelesakan persamaan dimensi di atas kita dapatkan
\[\alpha = -\frac{1}{2}, ~~~~\beta =-\frac{3}{2}, ~~~~\text{dan}~~\gamma=\frac{1}{2}\]
Sehingga persamaannya frekuensinya menjadi :
\[f=k\sqrt{\frac{\sigma}{\rho r^3}}\]

(b) Perbandingan frekuensi untuk ukuran tetes cairanyang sama antara cairan A dan B
\begin{align*}
\frac{f_A}{f_B}&=\frac{k\sqrt{\frac{\sigma_A}{\rho_A r^3}}}{k\sqrt{\frac{\sigma_B}{\rho_B r^3}}}\\
&=\sqrt{\frac{\sigma_A \rho_B}{\sigma_B\rho_A}}\\
&=\sqrt{\frac{0,0405 \cdot 12,1}{0,5 \cdot 1}}\\
&=0,99
\end{align*}

(c) Pada (b) hasil perbandingan frekuensinya adalah 0,99, dengan kata lain frekuensi cairan A dan B tidak berbeda (hanya sedikit berbeda). Massa jenis kedua cairan memang berbeda jauh. Massa jenis cairan A jauh lebih kecil daripada cairan B, namun tegangan muka B yang juga jauh lebih besar dari A mengimbangi perbedaan tersebut. Sehingga frekuensinya mirip.



2- (12 poin) Sebuah peluru ditembakkan dari titik A ke titik B dimana titik A dan B merupakan titik-titik sudut alas suatu segitiga ABC (lihat gambar). Segitiga ABC sebidang dengan lintasan peluru. Lintasan peluru diketahui berjarak H dari titik C (titik puncak segitiga). Jika diketahui  $\angle CAB =\alpha$, sudut $\angle CBA=\beta$ sudut  dan jarak AB adalah $L$, tentukan:

                                        
a. (10 poin) sudut elevasi ketika peluru ditembakkan,

b. (2 poin) laju awal peluru ketika ditembakkan jika $\alpha =\beta$

Nyatakan semua jawaban dalam H, L, $\alpha$, dan $\beta$.

Pembahasan :

a. Persoalan di atas merupakan persoalan gerak parabola, dengan tata koordinat seperti gambar ini :

                                
yang persamaan geraknya pada sumbu x ($x_0,y_0$ ada di A):
\[x=v_0\cos\theta~ t\]
(dengan $\theta$ adalah sudut elevasi), dan pada sumbu y:
\[y=v_0\sin\theta t -\frac{1}{2}gt^2\]
lalu subtitusikan $t$ dari persamaan pertama ke kedua sehingga persamaan menjadi :
\[y=\tan\theta~x-\frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2\theta}\]
kemudian dengan menggunakan dua titik pada gambar di atas, yaitu titik  B(L,0) dan C($AC\cos\alpha$, ${H+AC\cos\alpha}$), dengan AC adalah (aturan sinus)
\[\frac{AC}{\sin\beta}=\frac{L}{\sin(\pi-(\alpha+\beta))}\]
Maka dari 2 titik itu didapatkan persamaan
\[0&=\tan\theta~L-\frac{gL^2}{2v_0^2 \cos^2\theta}\\
\]